Senza quel “PEZZETTO” non ci sarebbe il Pi greco!

Quando i numeri non riescono a catturare la geometria della circonferenza
(Ana Millán Gasca)

In occasione del Pi greco Day lo scorso anno avevo regalato alla classe (una quarta primaria) dei libri di Anna Cerasoli tra cui “Tutti in festa con Pi Greco”.

Quest’anno con la quinta sono voluta ripartire proprio da questo libro e da questo numero che tanto affascina l’uomo da migliaia di anni.

Come prima cosa (prima di parlare, spiegare e raccontare) ho consegnato a tutti i bambini (a coppie) un oggetto circolare: piatti di carta di diversa ampiezza, bicchieri, nastro adesivo, ecc. e un pezzo di nastro da pacchi.

Ho chiesto ad ogni coppia di cercare di individuare il diametro della circonferenza dell’oggetto che avevo dato a ciascuno. Ho spiegato che “diametro” è una parola che in geometria indica il maggiore di tutti i segmenti “appoggiati” sulla circonferenza (entrambi gli estremi giacciono sulla circonferenza) che passa per il centro e in pratica è costituito da due raggi allineati. [1]

Una volta compresa la definizione, ho chiesto di tagliare il nastro della lunghezza del diametro, ognuno relativo al proprio oggetto (chiaramente ad occhio, ma l’occhio del bambino è sempre molto attento in queste occasioni!). Il lavoro in coppia è stato utile perché i bambini si sono aiutati nel tenere il nastro in modo fisso e preciso da una parte e nel tagliarlo dall’altra, in modo altrettanto preciso. Poi ho chiesto di misurare la circonferenza con questo nastro-diametro. Ho consigliato, per non sbagliarsi e confondersi, di fare un segno con il pennarello ogni volta che il nastro-diametro terminava ed era necessario andare avanti con la misurazione. Anche in questa seconda fase del lavoro quattro mani al posto di due sono state particolarmente utili e risolutive! I bambini sono stati molto attenti e concentrati nella misurazione.

Quando però ho chiesto: “Allora? Quanti diametri sono contenuti nella circonferenza?” si è creato uno strano vociare di sottofondo e poi una coppia ha confessato in modo affranto: “A noi viene sbagliato!” e poi un’altra: “anche a noi viene sbagliato!” e poi le altre: “Anche a noi, anche a noi!”. Solo una coppia soddisfatta e sorridente ha detto: “A noi viene giusto!” e allora ho chiesto: “Scusatemi ma giusto e sbagliato rispetto a cosa? Fatemi capire!” E la coppia soddisfatta: “Noi… 3 volte precisi!” e gli altri: “A noi invece avanza sempre un PEZZETTO!” “Si anche a noi avanza un PEZZETTO e l’abbiamo anche rimisurato!” “Sì anche da noi ci sta il PEZZETTO che avanza… che nervi!”

“Ecco sappiate che anche gli antichi greci e tanti altri matematici successivamente si sono snervati come voi per colpa di quel PEZZETTO! Quindi avete fatto bene ed è giusto come vi è venuto! È proprio quel PEZZETTO che rende speciale e unico questo numero che i greci chiamarono π (in quanto iniziale di περιφέρεια, “periphéreia” in greco), e che noi oggi chiamiamo PI greco! Quindi non dovete pensare di aver sbagliato solo perché non vi è venuta una misurazione precisa!”

I bambini erano attenti e parzialmente rincuorati. Così ho raccontato che per misurare quel PEZZETTO, sempre utilizzando il diametro, era stato necessario dividerlo in dieci parti e prenderne in considerazione una, ma avanzava ancora un PEZZETTO. Allora i greci avevano pensato di dividerlo ancora in dieci parti e di utilizzare quattro di queste parti piccolissime (quattro centesimi del diametro!) ma anche così… avanzava ancora un PEZZETTO! E così continuarono a dividere in parti sempre più piccole… ma poi alla fine avanzava sempre e comunque un PEZZETTO, sempre più piccolo, sempre più microscopico e non si riusciva a trovare una fine.

E una bambina: “e allora come hanno fatto?”

“Lo hanno lasciato così! È un numero che ha infinite cifre dopo la virgola!”

E sempre la bambina: “Ma non è possibile scriverlo tutto tutto allora!”

“Ma dipende: se vogliamo usare tutte le cifre (tutte tutte!) no, hai ragione, non è possibile scriverlo tutto, ma se invece facciamo come i greci che lo chiamavano con una lettera, la PI, allora possiamo scriverlo facilmente!”

Un bambino: “eh, però facile così, furbi ‘sti greci!”

Vedevo che i bambini, attraverso il racconto e la mimesis cominciavano ad assaporare il gusto ma anche il senso di spaesamento dell’infinito; ne erano attratti ed eccitati ma al contempo anche impauriti e resistenti a spingersi oltre.

L’attività che a quel punto ho voluto proporre loro è stata quella di colorare le prime cifre della sequenza del Pi greco seguendo i colori delle perle Montessori (che per loro hanno una grande valenza simbolica). Ho utilizzato il Pi greco presente nella copertina interna del libro di Anna Cerasoli “Tutti in festa con Pi greco” (che ha moltissime cifre dopo la virgola) e i bambini hanno iniziato colorando: gli uno di rosso, i due di verde, i tre di rosa, i quattro di giallo, i cinque di azzurro, i sei di indaco, i sette lasciandoli bianchi, gli otto di marrone, i nove di blu e… e gli zeri? Ecco, come nei regoli (o numeri in colore) di George Cuisenaire, lo zero non ha un colore perché semplicemente “non è” (né perla, né regolo); però visto che in questi materiali è contemplata la decina che in entrambi i materiali ha il colore arancione abbiamo convenuto con i bambini che lo zero avrebbe avuto il colore arancione.

Ai fini del lavoro che volevo fare sarebbe stato sufficiente colorare la prima fila di numeri e invece i bambini si sono appassionati al punto che alcuni hanno voluto terminare di colorare l’intero foglio di numeri!

Così ho colto l’occasione del silenzio presente dato dalla concentrazione nel lavoro, per leggere e raccontare un po’ di storie sul Pi greco tratte dal libro di Anna Cerasoli. Abbiamo letto di Archimede, di Euclide ed Eratostene ed è stato interessante perché proprio a fine gennaio in classe avevamo parlato di Eratostene e del suo crivello per scovare i numeri primi (si veda l’articolo Era tosto Eratostene!), e poi l’avevamo ritrovato in storia qualche settimana dopo, trattando di Alessandro Magno e della meravigliosa biblioteca di Alessandria d’Egitto di cui Eratostene era il direttore. Proprio la settimana scorsa poi, in occasione della festa della donna, abbiamo letto in classe la storia di Ipazia[2] che, guarda caso, studiava e insegnava nella grande biblioteca di Alessandria d’Egitto!

Insomma i bambini si sono resi conto di quale eredità culturale meravigliosa ci abbia lasciato l’antica Grecia!

Poi abbiamo anche scherzato e giocato sulla capacità di memorizzare un numero così lungo e complicato che, come giustamente ha detto un bambino, “mica è facile come un numero periodico che si ripete sempre!”

La proposta di lavoro seguente è stata quella di ricreare la sequenza del Pi greco con delle perline che avevano gli stessi colori delle perle Montessori e che dunque, ai loro occhi, potessero rappresentare attraverso il colore il Pi greco. Così, armati di filo e di un piccolo filamento di rame usato come ago, tutti hanno iniziato ad infilare una perlina rosa (il tre!). Subito i bambini si sono posti il problema della virgola e io ho chiesto loro come pensavano sarebbe stato opportuno rappresentarla. Alcuni di loro mi hanno proposto di usare una perlina nera (che è un colore assente nelle perle Montessori e dunque neutro dal loro punto di vista) e io ho controproposto di usare una perlina di metallo. Dopo questa perlina color argento è iniziata la lunga sequenza: rosso, giallo, rosso, celeste, blu, verde, indaco, celeste, rosa, celeste, marrone, blu, bianco, blu, rosa, verde, ecc.

Bisognava essere ben concentrati per non perdere il ritmo, non far cadere le perline, non perdere la sequenza… il tutto moltiplicato per 17 bambini, e anche i due bambini con il sostegno riconosciuto (il motivo per il quale io sono insegnante in questa classe) hanno partecipato attivamente! A un certo punto le richieste da parte dei bambini sono aumentate e si sono sempre più differenziate: “sono rimasto indietro!” “mi sono perso due perline!” “il filo si è sfilacciato e non riesco più a infilare…” “a me sono uscite tutte le perline e devo ricominciare!” Dentro di me ho cominciato a tremare. Chi me l’aveva fatto fare? Avevo osato troppo? Avevo fatto il passo più lungo della gamba? Cercavo di rassicurare i bambini prendendo tempo: “Non ti preoccupare, ora arrivo” “Dai ricomincia piano piano guardando la sequenza” “Se ti mancano le perline valle a prendere da solo sul tavolo” e così via. Poi a un certo punto mi sono accorta che i bambini da soli avevano cominciato ad aiutarsi e a sostenersi in modo efficiente, funzionale e solidale. Alcune bambine avevano cominciato a distribuire perline a chi non ne aveva, altre aiutavano infilando perline a chi era rimasto più indietro, i bambini erano attenti, concentrati e disponibili nel farsi aiutare e nel sostenere i loro amici verbalmente “dai che hai quasi finito!” “forza che ti manca poco!”. Arrivati al primo zero della sequenza, rappresentato con la fantomatica perlina arancione abbiamo deciso di fermarci: l’ora della merenda era passata da 45 minuti e nessuno ancora aveva protestato per la fame o la stanchezza. Così abbiamo fermato la sequenza di 33 perline con dei nodi ben stretti. Mancava la chiusura del braccialetto. Avevo comprato dei piccoli moschettoni e il simbolo dell’infinito e alla mia domanda: “secondo voi da che parte attaccherò il simbolo dell’infinito?” hanno tutti risposto: “Dalla parte della perlina arancione!”

I bambini avevano capito, non avevo dubbi!

E alla fine la gioia per avercela fatta tutti… tutti insieme!

Per concludere questo viaggio con la V D alla scoperta del loro primo numero irrazionale (un numero decimale, illimitato non periodico) voglio riportare alcune considerazioni di Ana Millán Gasca sulla misura tratte dal suo ultimo libro Numeri e Forme:

la ricerca della precisione è all’origine della nascita della geometria come disciplina teorica, e viceversa la misura si basa su operazioni di natura geometrica. Nelle loro origini, misura e geometria sono unite in modo inestricabile. Inoltre, e soprattutto, la misurazione è una motivazione cruciale dell’ampliamento che dai numeri per contare porta al mondo dei numeri rotti, poiché misurando si scopre che molto spesso la grandezza da misurare non è multiplo dell’unità di misura, ma è un po’ di più o un po’ di meno del multiplo. Più in generale, la misura è una delle vie di accesso al pensiero scientifico, che individua grandezze misurabili e stabilisce rapporti tra grandezze. Si comprende allora che il lavoro sulla misura può diventare una vera e propria avventura di conoscenza, legata all’esperienza quotidiana dei bambini, terreno su cui risolvere problemi e avvicinarsi all’idea di precisione di stampo scientifico, allargando i propri orizzonti.[3]

Buona matematica a tutti!

[1] Negli Elementi di Euclide si definisce: “Diametro del cerchio è una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio , la quale retta taglia anche il cerchio per metà. Per saperne di più: G. Israel – A. Millán Gasca, Pensare in matematica, pag. 195.

[2] E. Favilli, F. Cavallo, Storie della Buonanotte per bambine ribelli, Mondadori, 2016, pag.72.

[3] A. Millán Gasca, Numeri e Forme, Zanichelli, 2016, pag. 245