I materiali concreti – Geometria e Aritmetica, una coppia inseparabile

Sempre di più sono presenti sulla rete post e dibattiti interessanti intorno all’uso di materiali concreti nella scuola primaria: c’è chi li trova utili, chi li trova dannosi, chi li trova superati, chi li trova ancora validi.  Noi riteniamo che conoscere bene i materiali concreti da un punto di vista matematico ci possa aiutare moltissimo per scegliere di volta in volta cosa usare, quando, come e perché, senza affidarci passivamente e fideisticamente alla moda del momento o a ciò che ci propone l’ultima guida didattica. Per questo vi proponiamo un estratto dell’articolo: “La geometria nei materiali e nelle immagini per apprendere il sistema di numerazione posizionale decimale. Dalla storia alla scuola di oggi” della professoressa Ana Millán Gasca e della nostra collega Emanuela Spagnoletti Zeuli, pubblicato sul n. 3 del Periodico di matematiche Mathesis nel 2015.

 2) L’intuizione geometrica infantile nei materiali didattici per l’aritmetica

Non si tratta, lo ribadiamo, di puntare il dito contro un materiale: rilevare un paradosso ci aiuta a comprendere meglio la ratio di un materiale, come esso sfrutta o si colloca all’interno della rete di nessi concettuali della matematica elementare (usando l’espressione di Laurent Lafforgue). Vogliamo qui rilevare un secondo paradosso, collegato al primo, e cioè il fatto che per comprendere la rappresentazione simbolica posizionale dei numeri naturali oppure, più in generale (è il caso dei regoli), le proprietà dei numeri naturali (struttura algebrica, struttura d’ordine, divisione con resto: il “calcolo”), ossia per aprire la strada ai bambini nel campo dell’aritmetica, essi sfruttano l’intuizione geometrica dei più piccoli.

Materiali didattici per l’aritmetica 3D

Nella fig. 1 mettiamo a confronto i dieci regoli o numeri in colore di Cuisenaire con le perle colorate di Montessori per rappresentare i numeri da 1 a 10, ossia proprio i nove numeri naturali che hanno una cifra che li rappresenta nel sistema di numerazione indiano nonché il primo numero che richiede due cifre. Si osservi, incidentalmente, che la taglia scelta per i materiali, adatta alle mani dei bambini, è simile (ma nei regoli è usato il centimetro, e quindi il regolo arancione permette di visualizzare un decimetro quadrato, con un intenso riferimento a unità di lunghezza del sistema metrico decimale familiare ai bambini in Belgio o in Italia, si veda la fig. 4).

Fig. 1 I regoli o numeri in colore da 1 (cubo bianco e perla rossa in una stanghetta) a 9 (regolo blu e nove perle in una stanghetta blu). Il primo numero che richiede due cifre, 10, ha un regolo dedicato (regolo arancione) e una stecca con 10 perline arancioni.

Si osservi che la disposizione delle perle allineate infilandole in una stanghetta rigida rinvia all’idea di distanza o segmento; nel caso dei regoli il numero è collegato alla lunghezza maggiore degli spigoli dei parallelepipedi con due dei lati opposti di area quadrata sempre uguale, formati dalla ripetizione del regolo bianco, il cubo.

Ognuno di essi fa pensare che in particolare questo piccolo cubo di in un centimetro cubo è per forza l’unità. Destino di questo cubo è di essere definitivamente unità. Non importa quale di questi regoli possa valerla. Così per caso prendo questo (il regolo rosa che corrisponde al numero 4) che vale un intero, poi ne prendo altri: questo varrà tre quarti (indicando il regolo verde chiaro che corrisponde al numero 3); questo varrà la metà (indicando il regolo rosso che corrisponde al numero 2); mentre il marrone (che corrisponde al numero 8) varrà due interi. Questa caratteristica di relazione tra i regoli permette il successo al metodo dei numeri in colore. Nel caso delle perle, il riferimento alla distanza si combina con quello al contare (le singole perle), che nel caso dei regoli può essere fatto soltanto confrontando i regoli con alcuni cubetti disposti uno accanto all’altro (fig. 2). Lo sviluppo dei regoli avviene sfruttando l’analogia fra l’uguaglianza o congruenza geometrica (dei volumi, dei segmenti) e quella aritmetica (decomposizioni e aritmetico, la somma geometrica e la somma aritmetica. I regoli infatti non servono alla introduzione del principio posizionale. Il regolo 10 non svolge nessun ruolo particolare diverso da quello degli altri regoli, e la base decimale del nostro sistema di numerazione è sullo sfondo, ad esempio rappresentando con l’aiuto del regolo arancione i numeri a due cifre; oppure rappresentando il centinaio con dieci regoli arancioni (fig. 2).

Fig. 2 I regoli di Cuisenaire. In alto “contare con i regoli”, in basso uno dei “muretti” che si usano sistematicamente in molte aule di classe prima in Italia, mentre spesso non sono sfruttati le potenzialità dei regoli per rappresentare divisioni con resto, giocare alle sottrazioni e così via (si veda la guida, essenziale, nel sito in francese cuisenaire.eu).

Fig. 3 Il centinaio nel materiale Montessori: in alto, nel “quadrato” di perle; in basso, la tavoletta di puntini grossi o perline stilizzate (dalla piccola sfera al piccolo cerchio, sezione della sfera). La tavoletta ha due facce quadrate, e tuttavia ha uno spessore che la riallaccia ancora alla sensazione tattile della forma fatta da perle.

Lo sviluppo delle perle (fig. 3) avviene invece con la composizione di quadrati e di cubi di spigolo 10: la stanghetta con dieci perle diventa quindi rispettivamente il lato e lo spigolo di altri due oggetti. Si apre così la strada alla riflessione sulla scrittura posizionale decimale dei numeri.

Fig. 4 Il centinaio a confronto: a sinistra le 100 perle Montessori; nel centro la tavoletta di legno con le 100 palline rappresentate; a destra il 100 rappresentato con i regoli (9 decine arancioni e 10 unità bianche). Si osservi che i regoli sono ideati in modo che il valore 100 corrisponda effettivamente al decimetro quadrato (l’unità è un centimetro cubo).

Questo tipo di rappresentazione si appoggia sull’intuizione geometrica ingenua, perché presuppone che il bambino apprenda facilmente e intuitivamente che, ad esempio, il regolo arancione possa essere usato al posto di 10 cubetti bianchi o di due parallelepipedi rossi, e analogamente che le 100 perle Montessori (disposte ordinatamente in 10 file e 10 colonne) possano essere agevolmente sostituite da una tavoletta di legno con sopra rappresentate 100 palline ordinate in uno schieramento 10 x 10. Altrettanto evidente è che l’uso agevole dei blocchi di Dienes (fig. 4) sfrutta l’intuizione del continuo: il centimetro cubo permette di visualizzare la seconda e terza potenza di basi diverse da 10 (quindi 4 e 8, 9 e 27, 16 e 64, 25 e 125 e così via).

Fig. 5 B.A.M, Blocchi Aritmetici Multibase, ideati da Dienes

La loro geometria è la chiave di volta che permette a questi materiali di essere didatticamente così potenti ed efficaci; di essere significativi e comunicativi al di là di ogni spiegazione verbale. Sono infatti materiali che “parlano da soli” nelle mani dei bambini proprio perché richiamano in loro l’intuizione geometrica ingenua [1] che li spinge a mettere insieme questi “pezzetti” (palline, cubi grandi e piccoli, tavolette e regoli), di legno, plastica, cartoncino, vetro, ecc., per operare confronti e stabilire relazioni d’ordine e di misura. I bambini spontaneamente accostano questi “pezzetti” uno accanto all’altro per formare delle scale, dei trenini, dei tappeti, delle collane, dei disegni (e persino dei palazzi o dei campi da calcio in 3D!). È la stessa intuizione geometrica, la stessa “logica dei solidi” (usiamo l’espressione di Bergson), che guida i bambini nel loro industriarsi tra mattoncini e stecche Lego di Ole Kirk Kristiansen, Kapla di Tom van der Bruggen e altri. Questi materiali per l’aritmetica ricordano al bambino cosa c’è “dentro” un numero, e non lo fanno evocando “molti puntini o stanghette”, bensì attraverso la potenza simbolica della geometria. Poter toccare e vedere ad esempio la differenza tra 7, 17, 107 e 1.070 non è un’esperienza da poco se la si compie nei primi anni della scuola primaria, perché questo significa che negli anni seguenti si consoliderà sempre più diventando così un apprendimento stabile e indiscutibile.

Spesso si sottovaluta l’importanza di questo tipo di esperienza e acquisizione – dandola magari per scontata – scoprendo troppo tardi (magari già alla scuola secondaria) che la comprensione di ciò che rappresenta un gruppo di cifre, nonostante gli anni trascorsi a scuola, non è ancora avvenuta effettivamente: il gruppo di cifre non è pregno di significato, non vi è un concetto di numero o, per dirla con Thom, il numero non ha esistenza nell’universo mentale dell’alunno[2]. Si noti che non si tratta soltanto dell’aggancio tra il numero e la realtà, per cui i numeri significano distanze, prezzi o pesi “veri” (esercizi questi anche interessanti). L’esercizio che consiste nell’“esperire” un numero grazie a una rappresentazione diversa da quella attraverso le cifre, ma comunque rappresentazione (non quindi direttamente quantità di cose, denaro o altro), è un passaggio importante che consente al bambino di stabilire con quel numero un “rapporto di intimità” di cui ha scritto Thom (1971) riferendosi al rapporto con i numeri nel calcolo mentale. Con i materiali Montessori diventa interessante lavorare con i bambini per rappresentare in modo quantitativo e geometrico numeri anche piuttosto elevati, composti da diverse migliaia. Infatti, il lavoro di scomposizione del numero che spesso viene svolto sul quaderno, magari con l’ausilio di una tabella, può avvenire anche con i materiali concreti con lo stesso livello di efficacia (apprendimento) ma con qualche entusiasmo in più da parte degli alunni che sentono realmente di “costruire il numero” o di “indovinare il valore” della costruzione effettuata.

Vi è quindi molta geometria nascosta nel lavoro sulla rappresentazione dei numeri che viene condotto nelle prime classi della scuola primaria; e il lavoro di progettazione e sviluppo di questo materiale poggia su una consapevolezza dell’intuizione geometrica dei bambini che è stata alla base, nell’Ottocento, di molte proposte di Friedrich Fröbel (1782 -1852) e di Édouard Séguin (1812-1880), quest’ultimo ispiratore di molti materiali di Maria Montessori, ad esempio le aste.”

[1] Le concezioni matematiche ingenue sono discusse nel libro A. Millán Gasca, Numeri e forme. I bambini e la matematica (Zanichelli), cap. 4. Il fondamento dell’intuizione geometrica ingenua è l’idea del continuo:

“Come ha osservato il matematico René Thom, il continuo è l’entità fondamentale attraverso cui si stabilisce il rapporto tra il mondo fisico e il mondo psichico e che plasma le forme geometriche che “vediamo” negli oggetti e che da essi formiamo per astrazione” (Israel, Millán Gasca 2012, p. 156). Scrive Thom (1971, p. 698): “Non vi è dubbio che […] il continuo geometrico è l’entità primordiale. Se si ha coscienza, questa è in primo luogo coscienza del tempo e dello spazio; la continuità geometrica è in certo senso legata inseparabilmente al pensiero cosciente”.

[2] “Il vero problema che deve affrontare l’insegnamento della matematica non è il problema del rigore ma il problema della costruzione del significato, della giustificazione ontologica degli oggetti matematici” (Thom 1974).

…Buona matematica a tutti noi!