Houston, abbiamo ventitré problemi!

Parigi, 8 Agosto 1900. Il fermento culturale è palpabile: sono in corso i Giochi Olimpici, dopo Atene i secondi dell’era moderna e i primi a cui anche le donne possono concorrere, per giunta disputati in contemporanea con la colossale Esposizione universale, per la quale Gustave Eiffel e il suo staff hanno realizzato l’iconica torre, destinata a diventare l’inconfondibile simbolo della Francia.

Non è esagerato dunque affermare che Parigi è in questi giorni il centro del mondo, eppure è su un evento non particolarmente appariscente che cade la nostra attenzione: siamo infatti al terzo giorno del II Congresso Internazionale dei Matematici e in cattedra oggi c’è un tedesco, il suo nome è David Hilbert.

Classe 1862, è salito agli onori della cronaca dodici anni fa, quando ha dimostrato un grosso risultato di algebra commutativa, che gli è valsa l’attenzione di nientemeno che Felix Klein, che lo ha preso successivamente sotto la propria ala a Gottinga. Klein ci ha visto lungo, ignorando quelli che additavano quel giovane rampante come visionario e giudicavano i suoi scritti più adatti a una facoltà di Teologia e Filosofia che a un onesto consesso di matematici.

Quel David Hilbert pensa davvero in grande e il suo amore per la conoscenza continua a far parlare di lui, dopo che l’anno scorso ha pubblicato un’opera avveniristica: “Fondamenti della Geometria”, un titolo ambizioso…

Tutta la geometria euclidea si fonda da sempre su cinque affermazioni fondamentali, i cosiddetti cinque postulati di Euclide, le uniche affermazioni che il celebre matematico greco non pretendesse di dimostrare, ritenendole di per sé evidenti, e sono ormai ventidue secoli che esse resistono, granitiche, come unici fondamenti di quel plurimillenario sapere geometrico.

Ma nel corso del XIX secolo qualcosa è cambiato: la nascita delle geometrie non-euclidee, con Gauss, Bolyai e Lobačevskij, ha aperto nuovi orizzonti ai matematici di tutto il mondo ed è diventata più chiara a tutti l’importanza di una scelta oculata di quelle affermazioni iniziali.

Un nuovo ambito di interesse sta facendo capolino sul panorama della ricerca matematica, la cosiddetta “assiomatica”, che sta innescando una vera e propria rivoluzione di cui Hilbert sarà uno dei protagonisti: nella sua opera abbatte quei cinque pilastri eretti da Euclide per sostituirli con ben ventuno assiomi fondamentali, più solidi e rigorosi, che gli permettono di descrivere con precisione chirurgica ogni costruzione geometrica che occorra attuare, sul piano e nello spazio.

Quell’uomo, invitato a parlare a tutti i più eminenti matematici del suo tempo, sa veramente il fatto suo ed è pronto a rilanciare una colossale sfida ai suoi colleghi.

Il suo discorso è, fin dalle prime parole, carico del profondo ottimismo scientifico che lo contraddistingue.

Pagina dopo pagina, la sua dissertazione sembra planare con leggerezza sopra le teste di tutti i grandi scienziati e matematici della storia, cogliendo il minimo comune denominatore di tutte le loro storie: l’appassionata esigenza di affrontare problemi e trovare soluzioni.

Afferma con zelo che i problemi sono il cuore della ricerca, il carburante migliore che la conoscenza abbia a disposizione per muoversi, e quanto più una branca del sapere scientifico è in grado di porsi problemi difficili e nuovi, tanto più questo è segno della sua vitalità e quindi motivo per cui valga la pena di studiarla e approfondirla.

La matematica è carica di moltissimi problemi ancora irrisolti, che Hilbert guarda con l’entusiasmo di un innamorato: problemi che nascono da ogni angolo della realtà, della scienza e della matematica stessa, venendo a bussare alla porta di quella comunità che si è riunita a Parigi e che quel matematico tedesco vuole richiamare all’attrattiva per la scoperta.

Siamo alle porte del XX secolo, che sembra promettere tanto progresso e che non si sospetta neppure che, assieme a esso, porterà così tanti e grandi fardelli storici, umani, politici, sociali, e finanche scientifici.

Hilbert conclude la sua lezione con uno strabiliante elenco di ventitré problemi aperti – dalla geometria all’analisi, dall’insiemistica alla fisica matematica –, che vuole risultare come una sorta di manifesto programmatico della matematica per il nuovo secolo, con una lungimiranza che solo un autentico genio come lui avrebbe potuto mostrare e che inaugurerà una fortunata consuetudine portata avanti dal Clay Mathematics Institute (CMI) di Cambridge, che nel 2000 pubblicherà i famosi sette “problemi per il millennio”, mettendo perfino in palio un milione di dollari a chi ne riuscisse a risolvere uno.

La smania di conoscere animerà Hilbert per tutta la sua lunga carriera, lungo la quale raggiungerà numerosissimi notevoli risultati nei più svariati ambiti della matematica, che lui preferisce considerare una disciplina unica, fuggendo le settorializzazioni che per forza di cose rendono più complicato avere uno sguardo di insieme.

Senza dubbio il contributo che lo ha reso più celebre consiste in quelli che da lui prendono il nome di spazi di Hilbert, generalizzazioni degli spazi euclidei e ingredienti fondamentali per lo studio dell’analisi funzionale e quindi di ogni teoria sulle equazioni alle derivate parziali, ma, per la mia esperienza di studente e insegnante, posso dire di essere personalmente più affezionato ad alcuni altri risultati da lui conseguiti, primi fra tutti forse quelli concernenti lo studio degli insiemi infiniti, collegati ai lavori di Georg Cantor.

Le pubblicazioni di Cantor con i suoi metodi diagonali, infatti, mostrano con chiarezza che un insieme infinito non può essere trattato come un insieme finito: se si sottrae o si aggiunge qualcosa a un insieme infinito, la quantità dei suoi elementi – la sua “cardinalità” – non varia, eppure non tutti gli insiemi infiniti sono equiparabili, ce ne sono alcuni “più infiniti” di altri. Dare una forma rigorosa a questo fenomeno appare privo di senso a molti influenti matematici del tempo, ma Hilbert è convinto che i problemi aperti della matematica troveranno risposta e nutre una sana ammirazione per il più anziano Cantor, dunque decide di elaborare un paradosso che possa chiarire il valore di quanto scoperto dal suo incompreso collega.

È così che nasce il paradosso del Grand Hotel di Hilbert, un hotel con infinite stanze tutte occupate, che però, proprio perché ha infinite stanze, riesce sempre a trovare un modo di spostare i suoi ospiti per fare spazio a nuovi visitatori, finiti o infiniti che siano.

Con questo paradosso finalmente Hilbert riesce ad arrivare a una spiegazione chiara di cosa renda infinito un insieme, quindi a una definizione di infinito attuale: un insieme è infinito se è in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio, vale a dire se al suo interno contiene un suo sottoinsieme “più piccolo” che però ha la stessa quantità di elementi dell’insieme di partenza.

In una classe prima di liceo scientifico quest’anno ho deciso di sottoporre questi risultati ai ragazzi come approfondimento al termine dell’unità di apprendimento sugli insiemi numerici.

È un argomento impegnativo per degli studenti del liceo, specialmente se al primo anno, ma quando, in occasione dell’Open Day dell’Istituto, ho proposto ai ragazzi di registrare dei contributi video in cui raccontare ciò che avevano scoperto nei primi mesi di scuola, mi ha stupito che una ragazza abbia voluto riproporre proprio il paradosso di Hilbert, come esempio di qualcosa che non avrebbe mai potuto immaginare ma che l’ha fatta riflettere: il suo nome è Virginia e in fondo a questo articolo potete trovare il video con la sua esauriente spiegazione, elaborata con creatività in una forma “a distanza”, propria delle circostanze che ci è dato di vivere.

La passione per la scoperta è il fuoco che ha animato la vita di Hilbert, una passione carica di una giusta dose di ingenuità, nell’affermare che ogni problema matematico abbia una soluzione, e anche se oggi sappiamo che non tutti i problemi irrisolti della matematica potranno trovare risposta, quella sete di conoscenza resta a monito per noi tutti, nell’epitaffio sulla sua tomba a Gottinga, che recita:

“Wir müssen wissen, wir werden wissen” ovvero “Dobbiamo conoscere, conosceremo.”

Buona Matematica a tutti!

A questo link trovate la traduzione italiana del discorso di Hilbert del 1900, presentata sul sito xlatangente.it a partire dalla versione comparsa nel 1902 nel Compte rendu du deuxième Congrès International des Mathematiques tenu à Paris du 6 au 12 août pubblicato da Gauthier-Villars.